跳表(Skip List)
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如何理解”跳表”

对于一个单链表来讲,即便链表中存储的数据是有序的,如果要想在其中查找某个数据,也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低,时间复杂度会很高,是 O(n)

原始链表

每两个结点提取一个结点到上一级,我们把抽出来的那一级叫做索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针,指向下一级结点。

索引

如果现在要查找某个结点,比如 16。可以先在索引层遍历,当遍历到索引层中值为 13 的结点时,发现下一个结点是 17,那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后通过索引层结点的 down 指针,下降到原始链表这一层,继续遍历。这个时候,只需要再遍历 2 个结点,就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样,原来如果要查找 16,需要遍历 10 个结点,现在只需要遍历 7 个结点。

多级跳表

这种链表加多级索引的结构,就是跳表。

跳表查询的效率

假设,每两个结点抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k级索引结点的个数就是 n/(2k)

假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n/(2h)=2,从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 log₂n。我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)

跳表的空间占用

比起单纯的单链表,跳表需要存储多级索引,要消耗更多的存储空间。

假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点:

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

降低索引占用的内存空间

前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引,所以,可以每三个结点或五个结点,抽一个结点到上级索引。

通过等比数列求和公式,总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n),但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法,要减少了一半的索引结点存储空间。

高效的动态插入和删除

跳表这个动态数据结构,不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)

对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。

但是,对于跳表来说,查找某个结点的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(logn)

跳表索引的动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时,如果我们不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。

作为一种动态数据结构,需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡,也就是说,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作性能下降。

通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

随机函数的选择很有讲究,从概率上来讲,能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性,不至于性能过度退化。


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  • Post author:Varsion
  • Create time:2020-08-12 21:57:24
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